数据结构与算法-3

八、堆（Heap）

8.1 堆

堆（heap）是一种满足特定条件的完全二叉树，主要可分为两种类型，如图所示。

• 小顶堆（min heap）：任意节点的值 ≤ 其子节点的值。
• 大顶堆（max heap）：任意节点的值 ≥ 其子节点的值。

堆作为完全二叉树的一个特例，具有以下特性。

• 最底层节点靠左填充，其他层的节点都被填满。
• 我们将二叉树的根节点称为“堆顶”，将底层最靠右的节点称为“堆底”。
• 对于大顶堆（小顶堆），堆顶元素（根节点）的值是最大（最小）的。

8.1.1 堆的常用操作

优先队列（priority queue），这是一种抽象的数据结构，定义为具有优先级排序的队列。

堆通常用于实现优先队列，大顶堆相当于元素按从大到小的顺序出队的优先队列。从使用角度来看，我们将“优先队列”和“堆”看作等价的数据结构。本书对两者不做特别区分，统一称作“堆”。

/* 初始化堆 */
// 初始化小顶堆
Queue<Integer> minHeap = new PriorityQueue<>();
// 初始化大顶堆（使用 lambda 表达式修改 Comparator 即可）
Queue<Integer> maxHeap = new PriorityQueue<>((a, b) -> b - a);

/* 元素入堆 */
maxHeap.offer(1);
maxHeap.offer(3);
maxHeap.offer(2);
maxHeap.offer(5);
maxHeap.offer(4);

/* 获取堆顶元素 */
int peek = maxHeap.peek(); // 5

/* 堆顶元素出堆 */
// 出堆元素会形成一个从大到小的序列
peek = maxHeap.poll(); // 5
peek = maxHeap.poll(); // 4
peek = maxHeap.poll(); // 3
peek = maxHeap.poll(); // 2
peek = maxHeap.poll(); // 1

/* 获取堆大小 */
int size = maxHeap.size();

/* 判断堆是否为空 */
boolean isEmpty = maxHeap.isEmpty();

/* 输入列表并建堆 */
minHeap = new PriorityQueue<>(Arrays.asList(1, 3, 2, 5, 4));

8.1.2 堆的实现

下文实现的是大顶堆。若要将其转换为小顶堆，只需将所有大小逻辑判断进行逆转（例如，将 ≥ 替换为 ≤ ）。

1. 堆的存储与表示

“二叉树”章节讲过，完全二叉树非常适合用数组表示。由于堆正是一种完全二叉树，因此我们将采用数组来存储堆。

当使用数组表示二叉树，元素代表节点值，索引代表节点在二叉树中的位置。节点指针通过索引映射公式来实现。

如图所示，给定索引 $i$ ，其左子节点的索引为 $2i+1$ ，右子节点的索引为 $2i+2$ ，父节点的索引为 $(i−1)/2$（向下整除）。当索引越界时，表示空节点或节点不存在。

我们可以将索引映射公式封装成函数，方便后续使用：

/* 获取左子节点的索引 */
int left(int i) {
    return 2 * i + 1;
}

/* 获取右子节点的索引 */
int right(int i) {
    return 2 * i + 2;
}

/* 获取父节点的索引 */
int parent(int i) {
    return (i - 1) / 2; // 向下整除
}

2. 访问堆顶元素

堆顶元素即为二叉树的根节点，也就是列表的首个元素：

/* 访问堆顶元素 */
int peek() {
    return maxHeap.get(0);
}

3. 元素入堆（Sift UP）

给定元素 val ，我们首先将其添加到堆底。添加之后，由于 val 可能大于堆中其他元素，堆的成立条件可能已被破坏，因此需要修复从插入节点到根节点的路径上的各个节点，这个操作被称为堆化（heapify）。

考虑从入堆节点开始，从底至顶执行堆化。如图所示，我们比较插入节点与其父节点的值，如果插入节点更大，则将它们交换。然后继续执行此操作，从底至顶修复堆中的各个节点，直至越过根节点或遇到无须交换的节点时结束。

也称上滤。

设节点总数为 n ，则树的高度为 O(log⁡n) 。由此可知，堆化操作的循环轮数最多为 O(log⁡n) ，元素入堆操作的时间复杂度为 O(log⁡n) 。代码如下所示：

/* 元素入堆 */
void push(int val) {
    // 添加节点
    maxHeap.add(val);
    // 从底至顶堆化
    siftUp(size() - 1);
}

/* 从节点 i 开始，从底至顶堆化 */
void siftUp(int i) {
    while (true) {
        // 获取节点 i 的父节点
        int p = parent(i);
        // 当“越过根节点”或“节点无须修复”时，结束堆化
        if (p < 0 || maxHeap.get(i) <= maxHeap.get(p))
            break;
        // 交换两节点
        swap(i, p);
        // 循环向上堆化
        i = p;
    }
}

4. 堆顶元素出堆（Sift Down）

堆顶元素是二叉树的根节点，即列表首元素。如果我们直接从列表中删除首元素，那么二叉树中所有节点的索引都会发生变化，这将使得后续使用堆化进行修复变得困难。为了尽量减少元素索引的变动，我们采用以下操作步骤。

1. 交换堆顶元素与堆底元素（交换根节点与最右叶节点）。
2. 交换完成后，将堆底从列表中删除（注意，由于已经交换，因此实际上删除的是原来的堆顶元素）。
3. 从根节点开始，从顶至底执行堆化。

如图，“从顶至底堆化”的操作方向与“从底至顶堆化”相反，我们将根节点的值与其两个子节点的值进行比较，将最大的子节点与根节点交换。然后循环执行此操作，直到越过叶节点或遇到无须交换的节点时结束。

也称下滤。

与元素入堆操作相似，堆顶元素出堆操作的时间复杂度也为 O(log⁡n) 。代码如下所示：

/* 元素出堆 */
int pop() {
    // 判空处理
    if (isEmpty())
        throw new IndexOutOfBoundsException();
    // 交换根节点与最右叶节点（交换首元素与尾元素）
    swap(0, size() - 1);
    // 删除节点
    int val = maxHeap.remove(size() - 1);
    // 从顶至底堆化
    siftDown(0);
    // 返回堆顶元素
    return val;
}

/* 从节点 i 开始，从顶至底堆化 */
void siftDown(int i) {
    while (true) {
        // 判断节点 i, l, r 中值最大的节点，记为 ma
        int l = left(i), r = right(i), ma = i;
        if (l < size() && maxHeap.get(l) > maxHeap.get(ma))
            ma = l;
        if (r < size() && maxHeap.get(r) > maxHeap.get(ma))
            ma = r;
        // 若节点 i 最大或索引 l, r 越界，则无须继续堆化，跳出
        if (ma == i)
            break;
        // 交换两节点
        swap(i, ma);
        // 循环向下堆化
        i = ma;
    }
}

8.1.3 堆的常见应用

• 优先队列：堆通常作为实现优先队列的首选数据结构，其入队和出队操作的时间复杂度均为 O(log⁡n) ，而建堆操作为 O(n) ，这些操作都非常高效。
• 堆排序：给定一组数据，我们可以用它们建立一个堆，然后不断地执行元素出堆操作，从而得到有序数据。然而，我们通常会使用一种更优雅的方式实现堆排序，详见“堆排序”章节。
• 获取最大的 k 个元素：这是一个经典的算法问题，同时也是一种典型应用，例如选择热度前 10 的新闻作为微博热搜，选取销量前 10 的商品等。

8.2 建堆操作（Heapify）

堆是一种特殊的数据结构，通常用完全二叉树来实现，建堆操作就是用一堆数据来构建这样一个堆。下面是两种建堆方法：

8.2.1 借助入堆操作实现

• 逐个插入元素并进行堆化：逐步插入每个元素，在每次插入后调整堆的结构，确保满足堆的性质

• 首先创建一个空堆，然后遍历列表，依次对每个元素执行“入堆操作”，即先将元素添加至堆的尾部，再对该元素执行“从底至顶”堆化。

• 每当一个元素入堆，堆的长度就加一。由于节点是从顶到底依次被添加进二叉树的，因此堆是“自上而下”构建的。(这里的“从顶到底”指的是元素按照完全二叉树的层序（即从上到下、从左到右）依次添加到堆的尾部。例如，插入第一个元素作为根节点，第二个作为左子节点，第三个作为右子节点，依此类推。每次插入后，通过从底至顶的堆化（即比较当前节点与父节点，必要时交换）来维护堆的性质。)

• 设元素数量为 $n$ ，每个元素的入堆操作使用 $O(log⁡n)$ 时间，因此该建堆方法的时间复杂度为 $O(nlog⁡n)$ 。

8.2.2 通过遍历堆化实现

• 一次性添加所有元素后，进行倒序遍历的堆化

• 另一种更为高效的建堆方法，共分为两步：

  • 将列表所有元素原封不动地添加到堆中，此时堆的性质尚未得到满足。
  • 倒序遍历堆（层序遍历的倒序），依次对每个非叶节点执行“从顶至底堆化”。

• 每当堆化一个节点后，以该节点为根节点的子树就形成一个合法的子堆。而由于是倒序遍历，因此堆是“自下而上”构建的。

• 之所以选择倒序遍历，是因为这样能够保证当前节点之下的子树已经是合法的子堆，这样堆化当前节点才是有效的。

• 这种方法的时间复杂度是 $O(n)$。

值得说明的是，由于叶节点没有子节点，因此它们天然就是合法的子堆，无须堆化。如以下代码所示，最后一个非叶节点是最后一个节点的父节点，我们从它开始倒序遍历并执行堆化：

/* 构造方法，根据输入列表建堆 */
MaxHeap(List<Integer> nums) {
    // 将列表元素原封不动添加进堆
    maxHeap = new ArrayList<>(nums);
    // 堆化除叶节点以外的其他所有节点
    for (int i = parent(size() - 1); i >= 0; i--) {
        siftDown(i);
    }
}

8.3 Top-k 问题

给定一个长度为 n 的无序数组 nums ，请返回数组中最大的 $k$ 个元素。

对于该问题，我们先介绍两种思路比较直接的解法，再介绍效率更高的堆解法。

8.3.1 方法一：遍历选择

我们可以进行图所示的 $k$ 轮遍历，分别在每轮中提取第 $1、2、…、k$ 大的元素，时间复杂度为 $O(nk)$ 。

此方法只适用于 $k≪n$ 的情况，因为当 $k$ 与 $n$ 比较接近时，其时间复杂度趋向于 $O(n^2)$ ，非常耗时。

当 $k=n$ 时，我们可以得到完整的有序序列，此时等价于“选择排序”算法。

8.3.2 方法二：排序

如图所示，我们可以先对数组 nums 进行排序，再返回最右边的 k 个元素，时间复杂度为 O(nlog⁡n) 。

显然，该方法“超额”完成任务了，因为我们只需找出最大的 k 个元素即可，而不需要排序其他元素。

8.3.3 方法三：堆

我们可以基于堆更加高效地解决 Top-k 问题，流程如图所示。

1. 初始化一个小顶堆，其堆顶元素最小。
2. 先将数组的前 k 个元素依次入堆。
3. 从第 k+1 个元素开始，若当前元素大于堆顶元素，则将堆顶元素出堆，并将当前元素入堆。
4. 遍历完成后，堆中保存的就是最大的 k 个元素。

/* 基于堆查找数组中最大的 k 个元素 */
Queue<Integer> topKHeap(int[] nums, int k) {
    // 初始化小顶堆
    Queue<Integer> heap = new PriorityQueue<Integer>();
    // 将数组的前 k 个元素入堆
    for (int i = 0; i < k; i++) {
        heap.offer(nums[i]);
    }
    // 从第 k+1 个元素开始，保持堆的长度为 k
    for (int i = k; i < nums.length; i++) {
        // 若当前元素大于堆顶元素，则将堆顶元素出堆、当前元素入堆
        if (nums[i] > heap.peek()) {
            heap.poll();
            heap.offer(nums[i]);
        }
    }
    return heap;
}

总共执行了 $n$ 轮入堆和出堆，堆的最大长度为 k ，因此时间复杂度为 $O(nlog⁡k)$ 。该方法的效率很高，当 $k$ 较小时，时间复杂度趋向 $O(n)$ ；当 $k$ 较大时，时间复杂度不会超过 $O(nlog⁡n)$ 。

九、图（graph）

9.1 图

• 图是一种非线性数据结构，由顶点（vertex）和边（edge）组成。我们可以将图 G 抽象地表示为一组顶点 V 和一组边 E 的集合。

• 如果将顶点看作节点，将边看作连接各个节点的引用（指针），我们就可以将图看作一种从链表拓展而来的数据结构。

• 相较于线性关系（链表）和分治关系（树），网络关系（图）的自由度更高，因而更为复杂。

以下示例展示了一个包含 5 个顶点和 7 条边的图：

9.1.1 图的常见类型与术语

根据边是否具有方向，可分为无向图（undirected graph）和有向图（directed graph），如图所示。

• 在无向图中，边表示两顶点之间的“双向”连接关系，例如微信或 QQ 中的“好友关系”。
• 在有向图中，边具有方向性，即 A→B 和 A←B 两个方向的边是相互独立的，例如微博或抖音上的“关注”与“被关注”关系。

根据所有顶点是否连通，分为连通图（connected graph）和非连通图（disconnected graph），如图所示

• 对于连通图，从某个顶点出发，可以到达其余任意顶点。
• 对于非连通图，从某个顶点出发，至少有一个顶点无法到达。

我们还可以为边添加“权重”变量，从而得到如图所示的有权图（weighted graph）。例如系统会根据共同游戏时间来计算玩家之间的“亲密度”，这种亲密度网络就可以用有权图来表示。

图数据结构包含以下常用术语。

• 邻接（adjacency）：当两顶点之间存在边相连时，称这两顶点“邻接”。在上图中，顶点 1 的邻接顶点为顶点 2、3、5。
• 路径（path）：从顶点 A 到顶点 B 经过的边构成的序列被称为从 A 到 B 的“路径”。在上图中，边序列 1-5-2-4 是顶点 1 到顶点 4 的一条路径。
• 度（degree）：一个顶点拥有的边数。对于有向图，入度（in-degree）表示有多少条边指向该顶点，出度（out-degree）表示有多少条边从该顶点指出。

9.1.2 图的表示

图的常用表示方式包括“邻接矩阵”和“邻接表”。以下使用无向图进行举例。

1. 邻接矩阵

设图的顶点数量为 n ，邻接矩阵（adjacency matrix）使用一个 n×n 大小的矩阵来表示图，每一行（列）代表一个顶点，矩阵元素代表边，用 1 或 0 表示两个顶点之间是否存在边。

如图所示，设邻接矩阵为 M、顶点列表为 V ，那么矩阵元素 M[i,j]=1 表示顶点 V[i] 到顶点 V[j] 之间存在边，反之 M[i,j]=0 表示两顶点之间无边。

邻接矩阵具有以下特性。

• 在简单图中，顶点不能与自身相连，此时邻接矩阵主对角线元素没有意义。
• 对于无向图，两个方向的边等价，此时邻接矩阵关于主对角线对称。
• 将邻接矩阵的元素从 1 和 0 替换为权重，则可表示有权图。

使用邻接矩阵表示图时，我们可以直接访问矩阵元素以获取边，因此增删查改操作的效率很高，时间复杂度均为 O(1) 。然而，矩阵的空间复杂度为 O(n2) ，内存占用较多。

2. 邻接表

邻接表（adjacency list）使用 n 个链表来表示图，链表节点表示顶点。第 i 个链表对应顶点 i ，其中存储了该顶点的所有邻接顶点（与该顶点相连的顶点）。

图展示了一个使用邻接表存储的图的示例。

邻接表仅存储实际存在的边，而边的总数通常远小于 n2 ，因此它更加节省空间。然而，在邻接表中需要通过遍历链表来查找边，因此其时间效率不如邻接矩阵。

观察图 ，邻接表结构与哈希表中的“链式地址”非常相似，因此我们也可以采用类似的方法来优化效率。比如当链表较长时，可以将链表转化为 AVL 树或红黑树，从而将时间效率从 O(n) 优化至 O(log⁡n) ；还可以把链表转换为哈希表，从而将时间复杂度降至 O(1) 。

9.2 图的基础操作

图的基础操作可分为对“边”的操作和对“顶点”的操作。在“邻接矩阵”和“邻接表”两种表示方法下，实现方式有所不同。

9.2.1 基于邻接矩阵的实现

给定一个顶点数量为 n 的无向图，则各种操作的实现方式如图所示。

• 添加或删除边：直接在邻接矩阵中修改指定的边即可，使用 O(1) 时间。而由于是无向图，因此需要同时更新两个方向的边。
• 添加顶点：在邻接矩阵的尾部添加一行一列，并全部填 0 即可，使用 O(n) 时间。
• 删除顶点：在邻接矩阵中删除一行一列。当删除首行首列时达到最差情况，需要将 (n−1)2 个元素“向左上移动”，从而使用 O(n2) 时间。
• 初始化：传入 n 个顶点，初始化长度为 n 的顶点列表 vertices ，使用 O(n) 时间；初始化 n×n 大小的邻接矩阵 adjMat ，使用 O(n2) 时间。

以下是基于邻接矩阵表示图的实现代码：

/* 基于邻接矩阵实现的无向图类 */
class GraphAdjMat {
    List<Integer> vertices; // 顶点列表，元素代表“顶点值”，索引代表“顶点索引”
    List<List<Integer>> adjMat; // 邻接矩阵，行列索引对应“顶点索引”

    /* 构造方法 */
    public GraphAdjMat(int[] vertices, int[][] edges) {
        this.vertices = new ArrayList<>();
        this.adjMat = new ArrayList<>();
        // 添加顶点
        for (int val : vertices) {
            addVertex(val);
        }
        // 添加边
        // 请注意，edges 元素代表顶点索引，即对应 vertices 元素索引
        for (int[] e : edges) {
            addEdge(e[0], e[1]);
        }
    }

    /* 获取顶点数量 */
    public int size() {
        return vertices.size();
    }

    /* 添加顶点 */
    public void addVertex(int val) {
        int n = size();
        // 向顶点列表中添加新顶点的值
        vertices.add(val);
        // 在邻接矩阵中添加一行
        List<Integer> newRow = new ArrayList<>(n);
        for (int j = 0; j < n; j++) {
            newRow.add(0);
        }
        adjMat.add(newRow);
        // 在邻接矩阵中添加一列
        for (List<Integer> row : adjMat) {
            row.add(0);
        }
    }

    /* 删除顶点 */
    public void removeVertex(int index) {
        if (index >= size())
            throw new IndexOutOfBoundsException();
        // 在顶点列表中移除索引 index 的顶点
        vertices.remove(index);
        // 在邻接矩阵中删除索引 index 的行
        adjMat.remove(index);
        // 在邻接矩阵中删除索引 index 的列
        for (List<Integer> row : adjMat) {
            row.remove(index);
        }
    }

    /* 添加边 */
    // 参数 i, j 对应 vertices 元素索引
    public void addEdge(int i, int j) {
        // 索引越界与相等处理
        if (i < 0 || j < 0 || i >= size() || j >= size() || i == j)
            throw new IndexOutOfBoundsException();
        // 在无向图中，邻接矩阵关于主对角线对称，即满足 (i, j) == (j, i)
        adjMat.get(i).set(j, 1);
        adjMat.get(j).set(i, 1);
    }

    /* 删除边 */
    // 参数 i, j 对应 vertices 元素索引
    public void removeEdge(int i, int j) {
        // 索引越界与相等处理
        if (i < 0 || j < 0 || i >= size() || j >= size() || i == j)
            throw new IndexOutOfBoundsException();
        adjMat.get(i).set(j, 0);
        adjMat.get(j).set(i, 0);
    }

    /* 打印邻接矩阵 */
    public void print() {
        System.out.print("顶点列表 = ");
        System.out.println(vertices);
        System.out.println("邻接矩阵 =");
        PrintUtil.printMatrix(adjMat);
    }
}

9.2.2 基于邻接表的实现

设无向图的顶点总数为 n、边总数为 m ，则可根据图所示的方法实现各种操作。

• 添加边：在顶点对应链表的末尾添加边即可，使用 O(1) 时间。因为是无向图，所以需要同时添加两个方向的边。
• 删除边：在顶点对应链表中查找并删除指定边，使用 O(m) 时间。在无向图中，需要同时删除两个方向的边。
• 添加顶点：在邻接表中添加一个链表，并将新增顶点作为链表头节点，使用 O(1) 时间。
• 删除顶点：需遍历整个邻接表，删除包含指定顶点的所有边，使用 O(n+m) 时间。
• 初始化：在邻接表中创建 n 个顶点和 2m 条边，使用 O(n+m) 时间。

以下是邻接表的代码实现，对比邻接矩阵，实际代码有以下不同。

• 为了方便添加与删除顶点，以及简化代码，我们使用列表（动态数组）来代替链表。
• 使用哈希表来存储邻接表，**key 为顶点实例，value 为该顶点的邻接顶点列表**（链表）。

另外，我们在邻接表中使用 Vertex 类来表示顶点，这样做的原因是：如果与邻接矩阵一样，用列表索引来区分不同顶点，那么假设要删除索引为 i 的顶点，则需遍历整个邻接表，将所有大于 i 的索引全部减 1 ，效率很低。而如果每个顶点都是唯一的 Vertex 实例，删除某一顶点之后就无须改动其他顶点了。

/* 基于邻接表实现的无向图类 */
class GraphAdjList {
    // 邻接表，key：顶点，value：该顶点的所有邻接顶点
    Map<Vertex, List<Vertex>> adjList;

    /* 构造方法 */
    public GraphAdjList(Vertex[][] edges) {
        this.adjList = new HashMap<>();
        // 添加所有顶点和边
        for (Vertex[] edge : edges) {
            addVertex(edge[0]);
            addVertex(edge[1]);
            addEdge(edge[0], edge[1]);
        }
    }

    /* 获取顶点数量 */
    public int size() {
        return adjList.size();
    }

    /* 添加边 */
    public void addEdge(Vertex vet1, Vertex vet2) {
        if (!adjList.containsKey(vet1) || !adjList.containsKey(vet2) || vet1 == vet2)
            throw new IllegalArgumentException();
        // 添加边 vet1 - vet2
        adjList.get(vet1).add(vet2);
        adjList.get(vet2).add(vet1);
    }

    /* 删除边 */
    public void removeEdge(Vertex vet1, Vertex vet2) {
        if (!adjList.containsKey(vet1) || !adjList.containsKey(vet2) || vet1 == vet2)
            throw new IllegalArgumentException();
        // 删除边 vet1 - vet2
        adjList.get(vet1).remove(vet2);
        adjList.get(vet2).remove(vet1);
    }

    /* 添加顶点 */
    public void addVertex(Vertex vet) {
        if (adjList.containsKey(vet))
            return;
        // 在邻接表中添加一个新链表
        adjList.put(vet, new ArrayList<>());
    }

    /* 删除顶点 */
    public void removeVertex(Vertex vet) {
        if (!adjList.containsKey(vet))
            throw new IllegalArgumentException();
        // 在邻接表中删除顶点 vet 对应的链表
        adjList.remove(vet);
        // 遍历其他顶点的链表，删除所有包含 vet 的边
        for (List<Vertex> list : adjList.values()) {
            list.remove(vet);
        }
    }

    /* 打印邻接表 */
    public void print() {
        System.out.println("邻接表 =");
        for (Map.Entry<Vertex, List<Vertex>> pair : adjList.entrySet()) {
            List<Integer> tmp = new ArrayList<>();
            for (Vertex vertex : pair.getValue())
                tmp.add(vertex.val);
            System.out.println(pair.getKey().val + ": " + tmp + ",");
        }
    }
}

9.2.3 效率对比

设图中共有 n 个顶点和 m 条边，表 9-2 对比了邻接矩阵和邻接表的时间效率和空间效率。

观察表似乎邻接表（哈希表）的时间效率与空间效率最优。但实际上，在邻接矩阵中操作边的效率更高，只需一次数组访问或赋值操作即可。综合来看，邻接矩阵体现了“以空间换时间”的原则，而邻接表体现了“以时间换空间”的原则。

9.3 图的遍历

树代表的是“一对多”的关系，而图则具有更高的自由度，可以表示任意的“多对多”关系。因此，我们可以把树看作图的一种特例。显然，树的遍历操作也是图的遍历操作的一种特例。

图和树都要应用搜索算法来实现遍历操作。图的遍历方式也可分为两种：广度优先遍历和深度优先遍历

9.3.1 广度优先遍历

• **广度优先遍历是一种==由近及远==的遍历方式，从某个节点出发，始终==优先访问距离最近的顶点==，并==一层层向外扩张==**。

• 如图所示，从左上角顶点出发，首先遍历该顶点的所有邻接顶点，然后遍历下一个顶点的所有邻接顶点，以此类推，直至所有顶点访问完毕。

BFS 通常借助队列来实现，代码如下所示。队列具有“先入先出”的性质，这与 BFS 的“由近及远”的思想异曲同工。

1. 将遍历起始顶点 startVet 加入队列，并开启循环。
2. 在循环的每轮迭代中，弹出队首顶点并记录访问，然后将该顶点的所有邻接顶点加入到队列尾部。
3. 循环步骤 2. ，直到所有顶点被访问完毕后结束。

为了防止重复遍历顶点，我们需要借助一个哈希集合 visited 来记录哪些节点已被访问。

哈希集合可以看作一个只存储 key 而不存储 value 的哈希表，它可以在 O(1) 时间复杂度下进行 key 的增删查改操作。根据 key 的唯一性，哈希集合通常用于数据去重等场景。

/* 广度优先遍历 */
// 使用邻接表来表示图，以便获取指定顶点的所有邻接顶点
List<Vertex> graphBFS(GraphAdjList graph, Vertex startVet) {
    // 顶点遍历序列
    List<Vertex> res = new ArrayList<>();
    // 哈希集合，用于记录已被访问过的顶点
    Set<Vertex> visited = new HashSet<>();
    visited.add(startVet);
    // 队列用于实现 BFS
    Queue<Vertex> que = new LinkedList<>();
    que.offer(startVet);
    // 以顶点 vet 为起点，循环直至访问完所有顶点
    while (!que.isEmpty()) {
        Vertex vet = que.poll(); // 队首顶点出队
        res.add(vet);            // 记录访问顶点
        // 遍历该顶点的所有邻接顶点
        for (Vertex adjVet : graph.adjList.get(vet)) {
            if (visited.contains(adjVet))
                continue;        // 跳过已被访问的顶点
            que.offer(adjVet);   // 只入队未访问的顶点
            visited.add(adjVet); // 标记该顶点已被访问
        }
    }
    // 返回顶点遍历序列
    return res;
}

广度优先遍历的序列是否唯一？

不唯一。广度优先遍历只要求按“由近及远”的顺序遍历，而多个相同距离的顶点的遍历顺序允许被任意打乱。以图为例，顶点 1、3 的访问顺序可以交换，顶点 2、4、6 的访问顺序也可以任意交换。

复杂度分析

时间复杂度：所有顶点都会入队并出队一次，使用 O(|V|) 时间；在遍历邻接顶点的过程中，由于是无向图，因此所有边都会被访问 2 次，使用 O(2|E|) 时间；总体使用 O(|V|+|E|) 时间。

空间复杂度：列表 res ，哈希集合 visited ，队列 que 中的顶点数量最多为 |V| ，使用 O(|V|) 空间。

9.3.2 深度优先遍历

深度优先遍历是一种==优先走到底==、==无路可走再回头==的遍历方式。如图所示，从左上角顶点出发，访问当前顶点的某个邻接顶点，直到走到尽头时返回，再继续走到尽头并返回，以此类推，直至所有顶点遍历完成。

这种“走到尽头再返回”的算法范式通常基于递归来实现。与广度优先遍历类似，在深度优先遍历中，我们也需要借助一个哈希集合 visited 来记录已被访问的顶点，以避免重复访问顶点。

/* 深度优先遍历辅助函数 */
void dfs(GraphAdjList graph, Set<Vertex> visited, List<Vertex> res, Vertex vet) {
    res.add(vet);     // 记录访问顶点
    visited.add(vet); // 标记该顶点已被访问
    // 遍历该顶点的所有邻接顶点
    for (Vertex adjVet : graph.adjList.get(vet)) {
        if (visited.contains(adjVet))
            continue; // 跳过已被访问的顶点
        // 递归访问邻接顶点
        dfs(graph, visited, res, adjVet);
    }
}

/* 深度优先遍历 */
// 使用邻接表来表示图，以便获取指定顶点的所有邻接顶点
List<Vertex> graphDFS(GraphAdjList graph, Vertex startVet) {
    // 顶点遍历序列
    List<Vertex> res = new ArrayList<>();
    // 哈希集合，用于记录已被访问过的顶点
    Set<Vertex> visited = new HashSet<>();
    dfs(graph, visited, res, startVet);
    return res;
}

深度优先遍历的算法流程如图所示。

• 直虚线代表向下递推，表示开启了一个新的递归方法来访问新顶点。
• 曲虚线代表向上回溯，表示此递归方法已经返回，回溯到了开启此方法的位置。

为了加深理解，建议将图与代码结合起来，在脑中模拟（或者用笔画下来）整个 DFS 过程，包括每个递归方法何时开启、何时返回。

深度优先遍历的序列是否唯一？

与广度优先遍历类似，深度优先遍历序列的顺序也不是唯一的。给定某顶点，先往哪个方向探索都可以，即邻接顶点的顺序可以任意打乱，都是深度优先遍历。

以树的遍历为例，“根 → 左 → 右”“左 → 根 → 右”“左 → 右 → 根”分别对应前序、中序、后序遍历，它们展示了三种遍历优先级，然而这三者都属于深度优先遍历。

复杂度分析

时间复杂度：所有顶点都会被访问 1 次，使用 O(|V|) 时间；所有边都会被访问 2 次，使用 O(2|E|) 时间；总体使用 O(|V|+|E|) 时间。

空间复杂度：列表 res ，哈希集合 visited 顶点数量最多为 |V| ，递归深度最大为 |V| ，因此使用 O(|V|) 空间。

算法

十、搜索

搜索是一场未知的冒险，我们或许需要走遍神秘空间的每个角落，又或许可以快速锁定目标。

在这场寻觅之旅中，每一次探索都可能得到一个未曾料想的答案。

10.1 二分查找

二分查找（binary search）是一种基于分治策略的高效搜索算法。它利用数据的有序性，每轮缩小一半搜索范围，直至找到目标元素或搜索区间为空为止。

给定一个长度为 n 的数组 nums ，元素按从小到大的顺序排列且不重复。请查找并返回元素 target 在该数组中的索引。若数组不包含该元素，则返回 −1 。示例如图所示。

由于 i 和 j 都是 int 类型，因此 i+j 可能会超出 int 类型的取值范围。为了避免大数越界，我们通常采用公式 m=⌊i+(j−i)/2⌋ 来计算中点。

/* 二分查找（双闭区间） */
int binarySearch(int[] nums, int target) {
    // 初始化双闭区间 [0, n-1] ，即 i, j 分别指向数组首元素、尾元素
    int i = 0, j = nums.length - 1;
    // 循环，当搜索区间为空时跳出（当 i > j 时为空）
    while (i <= j) {
        int m = i + (j - i) / 2; // 计算中点索引 m
        if (nums[m] < target) // 此情况说明 target 在区间 [m+1, j] 中
            i = m + 1;
        else if (nums[m] > target) // 此情况说明 target 在区间 [i, m-1] 中
            j = m - 1;
        else // 找到目标元素，返回其索引
            return m;
    }
    // 未找到目标元素，返回 -1
    return -1;
}

时间复杂度为 O(log⁡n) ：在二分循环中，区间每轮缩小一半，因此循环次数为 log2⁡n 。

空间复杂度为 O(1) ：指针 i 和 j 使用常数大小空间。

10.1.1 区间表示方法

除了上述双闭区间外，常见的区间表示还有“左闭右开”区间，定义为 [0,n) ，即左边界包含自身，右边界不包含自身。在该表示下，区间 [i,j) 在 i=j 时为空。

我们可以基于该表示实现具有相同功能的二分查找算法：

/* 二分查找（左闭右开区间） */
int binarySearchLCRO(int[] nums, int target) {
    // 初始化左闭右开区间 [0, n) ，即 i, j 分别指向数组首元素、尾元素+1
    int i = 0, j = nums.length;
    // 循环，当搜索区间为空时跳出（当 i = j 时为空）
    while (i < j) {
        int m = i + (j - i) / 2; // 计算中点索引 m
        if (nums[m] < target) // 此情况说明 target 在区间 [m+1, j) 中
            i = m + 1;
        else if (nums[m] > target) // 此情况说明 target 在区间 [i, m) 中
            j = m;
        else // 找到目标元素，返回其索引
            return m;
    }
    // 未找到目标元素，返回 -1
    return -1;
}

在两种区间表示下，二分查找算法的初始化、循环条件和缩小区间操作皆有所不同。

由于“双闭区间”表示中的左右边界都被定义为闭区间，因此通过指针 i 和指针 j 缩小区间的操作也是对称的。这样更不容易出错，因此一般建议采用“双闭区间”的写法。

10.1.2 优点与局限性

二分查找在时间和空间方面都有较好的性能：

• 二分查找的时间效率高。在大数据量下，对数阶的时间复杂度具有显著优势。当数据大小 n=220 时，线性查找需要 220=1048576 轮循环，而二分查找仅需 log2⁡220=20 轮循环。
• 二分查找无须额外空间。相较于需要借助额外空间的搜索算法（例如哈希查找），二分查找更加节省空间。

然而，二分查找并非适用于所有情况，主要有以下原因：

• 二分查找仅适用于有序数据。若输入数据无序，为了使用二分查找而专门进行排序，得不偿失。因为排序算法的时间复杂度通常为 O(nlog⁡n) ，比线性查找和二分查找都更高。对于频繁插入元素的场景，为保持数组有序性，需要将元素插入到特定位置，时间复杂度为 O(n) ，也是非常昂贵的。
• 二分查找仅适用于数组。二分查找需要跳跃式（非连续地）访问元素，而在链表中执行跳跃式访问的效率较低，因此不适合应用在链表或基于链表实现的数据结构。
• 小数据量下，线性查找性能更佳。在线性查找中，每轮只需 1 次判断操作；而在二分查找中，需要 1 次加法、1 次除法、1 ~ 3 次判断操作、1 次加法（减法），共 4 ~ 6 个单元操作；因此，当数据量 n 较小时，线性查找反而比二分查找更快。

10.2 二分查找插入点

二分查找不仅可用于搜索目标元素，还可用于解决许多变种问题，比如搜索目标元素的插入位置。

10.2.1 无重复元素的情况

给定一个长度为 n 的有序数组 nums 和一个元素 target ，数组不存在重复元素。现将 target 插入数组 nums 中，并保持其有序性。若数组中已存在元素 target ，则插入到其左方。请返回插入后 target 在数组中的索引。示例如图所示。

如果想复用上一节的二分查找代码，则需要回答以下两个问题。

问题一：当数组中包含 target 时，插入点的索引是否是该元素的索引？

题目要求将 target 插入到相等元素的左边，这意味着新插入的 target 替换了原来 target 的位置。也就是说，当数组包含 target 时，插入点的索引就是该 target 的索引。

问题二：当数组中不存在 target 时，插入点是哪个元素的索引？

进一步思考二分查找过程：当 nums[m] < target 时 i 移动，这意味着指针 i 在向大于等于 target 的元素靠近。同理，指针 j 始终在向小于等于 target 的元素靠近。

因此二分结束时一定有：B。易得当数组不包含 target 时，插入索引为 i 。代码如下所示：

/* 二分查找插入点（无重复元素） */
int binarySearchInsertionSimple(int[] nums, int target) {
    int i = 0, j = nums.length - 1; // 初始化双闭区间 [0, n-1]
    while (i <= j) {
        int m = i + (j - i) / 2; // 计算中点索引 m
        if (nums[m] < target) {
            i = m + 1; // target 在区间 [m+1, j] 中
        } else if (nums[m] > target) {
            j = m - 1; // target 在区间 [i, m-1] 中
        } else {
            return m; // 找到 target ，返回插入点 m
        }
    }
    // 未找到 target ，返回插入点 i
    return i;
}

10.2.2 存在重复元素的情况

在上一题的基础上，规定数组可能包含重复元素，其余不变。

假设数组中存在多个 target ，则普通二分查找只能返回其中一个 target 的索引，**而无法确定该元素的左边和右边还有多少 target**。

题目要求将目标元素插入到最左边，所以我们需要查找数组中最左一个 target 的索引。初步考虑通过图所示的步骤实现。

1. 执行二分查找，得到任意一个 target 的索引，记为 k 。
2. 从索引 k 开始，向左进行线性遍历，当找到最左边的 target 时返回。

此方法虽然可用，但其包含线性查找，因此时间复杂度为 O(n) 。当数组中存在很多重复的 target 时，该方法效率很低。

现考虑拓展二分查找代码。如图所示，整体流程保持不变，每轮先计算中点索引 m ，再判断 target 和 nums[m] 的大小关系，分为以下几种情况。

• 当 nums[m] < target 或 nums[m] > target 时，说明还没有找到 target ，因此采用普通二分查找的缩小区间操作，从而使指针 i 和 j 向 target 靠近。
• 当 nums[m] == target 时，说明小于 target 的元素在区间 [i,m−1] 中，因此采用 j=m−1 来缩小区间，从而使指针 j 向小于 target 的元素靠近。

循环完成后，i 指向最左边的 target ，j 指向首个小于 target 的元素，因此索引 i 就是插入点。

观察以下代码，判断分支 nums[m] > target 和 nums[m] == target 的操作相同，因此两者可以合并。

即便如此，我们仍然可以将判断条件保持展开，因为其逻辑更加清晰、可读性更好。

/* 二分查找插入点（存在重复元素） */
int binarySearchInsertion(int[] nums, int target) {
    int i = 0, j = nums.length - 1; // 初始化双闭区间 [0, n-1]
    while (i <= j) {
        int m = i + (j - i) / 2; // 计算中点索引 m
        if (nums[m] < target) {
            i = m + 1; // target 在区间 [m+1, j] 中
        } else if (nums[m] > target) {
            j = m - 1; // target 在区间 [i, m-1] 中
        } else {
            j = m - 1; // 首个小于 target 的元素在区间 [i, m-1] 中
        }
    }
    // 返回插入点 i
    return i;
}

总的来看，二分查找无非就是给指针 i 和 j 分别设定搜索目标，目标可能是一个具体的元素（例如 target ），也可能是一个元素范围（例如小于 target 的元素）。

在不断的循环二分中，指针 i 和 j 都逐渐逼近预先设定的目标。最终，它们或是成功找到答案，或是越过边界后停止。

10.3 二分查找边界

10.3.1 查找左边界

给定一个长度为 n 的有序数组 nums ，其中可能包含重复元素。请返回数组中最左一个元素 target 的索引。若数组中不包含该元素，则返回 −1 。

回忆二分查找插入点的方法，搜索完成后 i 指向最左一个 target ，因此查找插入点本质上是在查找最左一个 target 的索引。

考虑通过查找插入点的函数实现查找左边界。请注意，数组中可能不包含 target ，这种情况可能导致以下两种结果

• 插入点的索引 i 越界。
• 元素 nums[i] 与 target 不相等。

当遇到以上两种情况时，直接返回 −1 即可。代码如下所示：

/* 二分查找最左一个 target */
int binarySearchLeftEdge(int[] nums, int target) {
    // 等价于查找 target 的插入点
    int i = binary_search_insertion.binarySearchInsertion(nums, target);
    // 未找到 target ，返回 -1
    if (i == nums.length || nums[i] != target) {
        return -1;
    }
    // 找到 target ，返回索引 i
    return i;
}